Co to liczby całkowite? Poznaj ich świat!

Co to liczby całkowite? Definicja i symbol

Definicja formalna liczb całkowitych

Liczby całkowite to fundamentalny koncept w matematyce, który rozszerza pojęcie liczb naturalnych. Formalnie rzecz ujmując, liczby całkowite stanowią zbiór obejmujący wszystkie liczby naturalne, czyli 0, 1, 2, 3 i tak dalej, a także ich liczby przeciwne. Liczby przeciwne do liczb naturalnych to ich ujemne odpowiedniki: -1, -2, -3 i tak dalej. Zatem, liczby całkowite obejmują całą oś liczbową, od nieskończoności ujemnej do nieskończoności dodatniej, bez żadnych przerw. Kluczową cechą odróżniającą liczby całkowite od innych typów liczb, takich jak ułamki czy liczby dziesiętne, jest to, że nie posiadają one części ułamkowych ani dziesiętnych. Każda liczba całkowita jest pełną, niepodzielną jednostką.

Zbiór liczb całkowitych – symbol ℤ

W świecie matematyki, aby sprawnie odnosić się do zbioru liczb całkowitych, używa się specjalnego symbolu. Najczęściej spotykanym i powszechnie przyjętym oznaczeniem jest ℤ. Ten symbol pochodzi od niemieckiego słowa „Zahl”, które oznacza „liczbę”. Czasami, szczególnie w polskiej nomenklaturze, można spotkać również oznaczenie literą C, jako inicjałem od polskiego słowa „całkowite”. Zbiór liczb całkowitych jest zbiorem nieskończonym, co oznacza, że nie posiada on ani najmniejszej, ani największej liczby. Możemy wyobrazić sobie tę nieskończoność jako ciągnącą się w obie strony oś liczbową, która nigdy się nie kończy.

Kluczowe własności liczb całkowitych

Liczby całkowite a naturalne: czym się różnią?

Zrozumienie relacji między liczbami całkowitymi a liczbami naturalnymi jest kluczowe dla pełnego pojęcia obu tych zbiorów. Liczby naturalne zazwyczaj definiuje się jako liczby używane do liczenia: 1, 2, 3, 4 i tak dalej. Niektóre definicje włączają również zero do zbioru liczb naturalnych (0, 1, 2, 3, …). Liczby całkowite można postrzegać jako rozszerzenie zbioru liczb naturalnych. Dokładniej mówiąc, liczby całkowite obejmują wszystkie liczby naturalne, wraz z zerem oraz liczbami przeciwnymi do liczb naturalnych (czyli liczbami ujemnymi). Dlatego też, podczas gdy liczby naturalne ograniczają się do wartości nieujemnych, liczby całkowite obejmują zarówno wartości dodatnie, ujemne, jak i zero. Ta możliwość operowania na liczbach ujemnych jest fundamentalną różnicą, która umożliwia wykonywanie działań, takich jak odejmowanie większej liczby od mniejszej, bez konieczności ograniczania się jedynie do wyników dodatnich.

Czy zero jest liczbą całkowitą?

Tak, zero jest liczbą całkowitą. Co więcej, jest to liczba szczególna, ponieważ stanowi ona granicę pomiędzy liczbami całkowitymi dodatnimi a liczbami całkowitymi ujemnymi. Zero nie jest ani liczbą dodatnią, ani ujemną. W kontekście zbioru liczb całkowitych, zero pełni rolę elementu neutralnego w dodawaniu i odejmowaniu. Dodanie lub odjęcie zera od dowolnej liczby całkowitej nie zmienia jej wartości. Jest to kluczowy element definicji liczb całkowitych, który pozwala na tworzenie spójnego systemu liczbowego, obejmującego zarówno wzrost, jak i spadek wartości.

Liczby całkowite a wymierne: jaka jest relacja?

Relacja między liczbami całkowitymi a liczbami wymiernymi jest bardzo ściśle powiązana. Liczby wymierne to liczby, które można przedstawić w postaci ułamka p/q, gdzie p jest liczbą całkowitą, a q jest liczbą całkowitą różną od zera. Kluczową informacją jest tutaj fakt, że każda liczba całkowita jest liczbą wymierną. Możemy to łatwo udowodnić, ponieważ każdą liczbę całkowitą 'n’ można zapisać jako ułamek n/1. Na przykład, liczba całkowita 5 jest równa ułamkowi 5/1, a liczba całkowita -3 jest równa ułamkowi -3/1. Oznacza to, że zbiór liczb całkowitych jest podzbiorem zbioru liczb wymiernych. Innymi słowy, liczby wymierne stanowią uogólnienie liczb całkowitych, ponieważ obejmują nie tylko liczby bez części ułamkowych, ale również te, które można przedstawić w formie ułamka zwykłego. Warto również zaznaczyć, że zbiór liczb całkowitych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, co oznacza, że mimo iż liczby całkowite obejmują również liczby ujemne, to można je jednoznacznie przyporządkować do liczb naturalnych.

Działania na liczbach całkowitych – podstawowe zasady

Dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych

Operacje dodawania i odejmowania na liczbach całkowitych są fundamentalnymi narzędziami w arytmetyce. Przy dodawaniu dwóch liczb całkowitych o tych samych znakach, dodajemy ich wartości bezwzględne i zachowujemy wspólny znak. Na przykład, 3 + 5 = 8, a (-3) + (-5) = -8. Jeśli liczby mają różne znaki, odejmujemy mniejszą wartość bezwzględną od większej i przypisujemy wynikowi znak liczby o większej wartości bezwzględnej. Przykładowo, 8 + (-3) = 5, a -8 + 3 = -5.

Odejmowanie liczb całkowitych można sprowadzić do dodawania, poprzez zamianę odejmowania na dodawanie liczby przeciwnej. Czyli, a – b = a + (-b). Na przykład, 7 – 4 to to samo co 7 + (-4), co daje wynik 3. Podobnie, 4 – 7 to to samo co 4 + (-7), co daje wynik -3. Odejmowanie liczby ujemnej jest równoznaczne z dodawaniem liczby dodatniej: 5 – (-2) = 5 + 2 = 7. W zbiorze liczb całkowitych można wykonywać dodawanie i odejmowanie, a także mnożenie, jednak należy pamiętać, że wynik dzielenia dwóch liczb całkowitych nie zawsze musi być liczbą całkowitą, co oznacza, że operacja dzielenia nie jest w tym zbiorze zawsze wykonalna w sposób gwarantujący wynik całkowity.

Przykłady liczb całkowitych

Aby lepiej zrozumieć, czym są liczby całkowite, warto przyjrzeć się kilku konkretnym przykładom. Do liczb całkowitych zaliczamy wszystkie liczby naturalne, takie jak 1, 2, 10, 55, 1024. Obejmujemy również zero (0), które stanowi punkt odniesienia. Co więcej, do tego zbioru należą także liczby ujemne, będące odpowiednikami liczb naturalnych, na przykład -1, -5, -17, -100, -5000.

Ważne jest, aby podkreślić, że liczby całkowite nie zawierają żadnych elementów ułamkowych ani dziesiętnych. Przykłady liczb, które nie są liczbami całkowitymi, to: 0.5, 1/3, -2.75, √2. Wszystkie te liczby mają część ułamkową lub dziesiętną, która odróżnia je od liczb całkowitych. Liczby całkowite można porównywać: liczby dodatnie są zawsze większe od ujemnych, a wśród liczb ujemnych większa jest ta, która jest bliżej zera (np. -3 jest większe od -7). Przykładem działań na liczbach całkowitych może być: 15 + (-6) = 9, lub -10 – (-4) = -10 + 4 = -6.